[BZOJ2440&&2986] [中山市选2011]完全平方数&&Non-Squarefree Numbers

题目描述

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T,表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki,描述一组数据,含义如题目中所描述。

Output

含T 行,分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4 
1 
13 
100 
1234567 

Sample Output

1 
19 
163 
2030745 

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

题目分析

先二分 将问题转化为判定性问题
这题要求第k个没有平方因子的数
没有平方因子意味着μ(i)!=0
根据容斥原理,2的平方是4,将n/4个数筛去;3的平方是9,将n/9个数筛去;16的倍数已经被2筛过了,所以跳过;5的平方是25,将n/25个数筛去;6的平方的倍数被2和3筛重复了,所以要加回来...
μ(2)=-1 μ(3)=-1 μ(4)=0 μ(5)=-1 μ(6)=1 ......
我们可以发现 每个n/(i^2)前的系数就是μ(i).
那么快筛出1~√n之间所有数的莫比乌斯函数,然后暴力一下就行.
然后2986同理

2440

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
int miu[10000100];
int prime[10000100];
bool vis[10000100];
void init()
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(!vis[i]) vis[i]=1,prime[++prime[0]]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=10000000;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]) miu[i*prime[j]]-=miu[i];
            else break;
        }
    }
}
long long check(long long x)
{
    long long sum=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;i++)
        sum+=(x/(i*i))*miu[i];
    return sum;
}
int t;
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        long long x;
        scanf("%lld",&x);
        long long l=x,r=1700000000ll,mid,ans=0;
        while(l<=r)
        {
            mid=(l+r)>>1;
            if(check(mid)>=x) ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

2986

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
int miu[10000100];
int prime[10000100];
bool vis[10000100];
void init()
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(!vis[i]) vis[i]=1,prime[++prime[0]]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=10000000;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]) miu[i*prime[j]]-=miu[i];
            else break;
        }
    }
}
long long check(long long x)
{
    long long sum=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;i++)
        sum+=(x/(i*i))*miu[i];
    return sum;
}
int t;
int main()
{
    init();
    long long x;
    scanf("%lld",&x);
    long long l=x,r=30000000000LL,mid,ans=0;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(mid-check(mid)>=x) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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